Dimostrazione matematica della legge del terzo

Nel 1984 fece esordio la rivista ludologica “Il rosso e il nero”, per continuare il cammino iniziato dal bollettino del centro sudi del commendator Delaiti che aveva chiuso le pubblicazioni. Gli editori si dedicarono ad approfondire l'aspetto matematico dei vari sistemi mediante l'utilizzo di calcolatori (computer) che a quel tempo cominciavano a fare la loro comparsa.

Data l'importanza della legge del terzo per gli studiosi della roulette, con questa esordirono per calcolarne matematicamente la veridicità .

Romano Desma in quella rivista illustrò le fondamenta teoriche e matematiche alla base della legge del terzo. Un'esposizione chiara ed efficace che riproponiamo qui di seguito e che sarà di certo utile agli appassionati che non hanno avuto occasione di leggerla.

Legge del terzo – di Romano Desma

L'osservazione che si applica a tutti i giochi ciclici compreso il lotto, è la seguente:

nel corso di una rotazione completa (37 colpi nel caso della roulette) appaiono mediamente solo i 2/3 dei numeri che compongono il gioco.

Per effettuarne la dimostrazione matematica, abbiamo ritenuto opportuno limitare i numeri da 1 a 9 (la media dei carrè su 36 numeri, se si vuole, come pure i risultati di una ipotetica roulette con solo numeri nel cilindro) allo scopo di non ingombrare l'argomentazione con cifre spropositamente alte.

Innanzitutto è necessario determinare quante siano le sequenze di 9 numeri che possono verificarsi in 9 colpi, che sono 387.420.489. Il risultato (9 alla nona) è tale in quanto dopo il primo colpo che darà luogo ad uno dei 9 risultati possibili, anche il secondo colpo darà luogo ad uno dei 9 possibili e così via.
Si tratta per dirla tecnicamente di “disposizione con ripetizione”.
Queste 387.420.489 disposizioni differiscono sia per i numeri che le compongono che per la loro disposizione. Ad esempio la serie 1 1 2 3 4 5 6 7 8 è diversa dalla serie 2 3 4 5 6 7 8 1 1 pur avendo gli stessi numeri che la compongono.

Cerchiamo ora di definire la costante di ciascuna disposizione o, per dirla tecnicamente tentiamo di definire tuttelle possibili combinazioni.

Prima di tutto quelle composte da numeri tutti uguali fra loro ad esempio:

• 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1
• 2 )1 2 3 4 5 6 7 8 9

poi, quelle composte da una coppia e da numeri tutti diversi sia tra loro che da quelli che compongono la coppia, ad esempio:

• 3) 1 1 2 3 4 5 6 7 8

come anche quelle composte da due coppie di numeri diversi tra loro e da altri numeri diversi sia tra loro che da quelli che compongono la coppia.

• 4) 1 1 2 2 3 4 5 6 7

e così via per le restanti combinazioni, per ciascuna delle quali riportiamo un esempio riassumendole tutte in una unica tabella.

Avendo dimostrato almeno in parte il procedimento possiamo ora elencare per ciascuno dei nostri 30 esempi il numero di casi possibili o probabilità.

Come si noterà in fin dei conti con appena 30 combinazioni abbiamo “razionalizzato” le ben 387.420.489 disposizioni con ripetizioni possibili.

Bene, esaminiamo l'esempio numero 1, esso illustra la possibilità che un solo numero dei 9 considerati appaia consecutivamente 9 volte. Trattandosi di 9 numeri è agevole dedurre come le possibilità totali che un numero totale dei 9 considerati si ripeta 9 volte sia:
1 x 9 = 9
ovvero, eguale alla probabilità della combinazione relativa al singolo numero moltiplicata per il totale dei numeri considerati.

Esaminiamo ora l'esempio numero 2, che illustra la possibilitò che tutti i numeri considerati siano diversi tra loro [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]

Come già detto, ciascun numero può apparire indifferentemente al termine di una qualunque delle 9 rotazioni considerate (la prima, la seconda, la terza, la quarta, etc). Ciò che conta  è che il risultato finale sia costituito dall'apparizione di 9 numeri diversi tra loro in 9 colpi.

Dobbiamo quindi calcolare tutte le possibili rotazioini dei nostri 9 numeri diversi sulle 9 possibili posizioni (l'ordine di uscita).

Per dirla tecnicamente, dobbiamo calcolare le permutazioni dei nostri 9 numeri. Il numero di tali permutazioni è dato dal fattoriale di 9 (che si indica con il simbolo 9!) e cioè dal prodotto di

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  il cui risultato è: 362.880

Esaminiamo ora l'esempio numero 3, decisamente meno immediato, che introdurrà però tutti i singoli elementi che costituiscono nel loro insieme la chiave di volta della dimostrazione [ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 ]
L'esempio numero 3 illustra la combinazione che in gergo pokeristico chiameremmo coppia ovvero due numeri uguali tra loro e diversi da tutti gli altri, mentre tutti gli altri sono diversi fra loro.

Due le considerazioni di base:

1. La coppia non deve necessariamente apparire nel corso dei primi due colpi;
2. la coppia può essere composta da uno qualunque dei nove numeri considerati che si ripeta due volte.

Per tornare al poker (esemplificazione che desidereremmo però abbandonare), la coppia può essere composta dalla prima e dalla seconda carta distribuite, dalla prima e dalla terza, dalla quarta e dalla quinta e così via: è il risultato finale che conta, e dobbiamo esaminare tutte le possibilità.

Inoltre, e terminiamo qui le esemplificazione pokeristica, la coppia può essere composta da uno qualunque dei nove numeri considerati.
Esaminiamo separatamente le due questioni.

• 1. Combinazioni dei restanti numeri che non compongono la coppia.

Stante il fatto che stiamo esaminando i risultati di 9 colpi, dei quali solo 2 hanno dato un risultato uguale, è agevole dedurre che i restanti 7 risultati saranno dati da 7, dei restanti 8 numeri su 9, che sono, in questo caso, diversi tra loro.
Bene, quante sono le possibili combinazioni di 8 numeri, considerati in gruppi di 7 ?
Il calcolo combinatorio definisce questo problema come "combinazione di n oggetti a k a k". La formula che determina il numero di tali combinazioni è

n(n-1)(n-2) ... (n-k)  /  (n-k)!  k!

abbiamo omesso, come si usa il simbolo di moltiplicazione fra i vari elementi

e quindi nel nostro caso:

 8 (8-1)(8-2)(8-3)(8-4)(8-5)(8-6) / (8-7) 7!

ovvero: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 /  7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

e quindi: 8.

Conosciamo quindi ora il numero delle possibili combinazioni dei restanti 8 numeri, dei 9 considerati, sulle 7 possibili posizioni date dall'esempio numero 3, combinazioni che assommano a 8.

• 2. Possibili permutazioni dei 9 numeri esaminati.

Ripetiamo l'esempio numero 3:  [ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 ]

Da quanto già esposto, e limitandoci al caso specifico, sappiamo ora che le combinazioni di numeri che non compongono la coppia sono 8.
Dato che i nostri 9 numeri dell'esempio numero 3, pur avendo dato come risultato una coppia, possono essere usciti in un qualunque ordine, dobbiamo calcolare il numero di possibilità di mescolare tra loro i numeri che hanno dato luogo alla combinazione.
i numeri dell'esempio posso essere anche siposti così [ 1 2 3 4 5 6 7 8 1] oppure così [ 2 3 4 5 6 7 8 1 1 ]

Tecnicamente, dobbiamo quindi calcolare le permutazioni di n oggetti non tutti distinti.
Ciò in quanto, essendoci una coppia, 2 dei numeri considerati sono uguali tra loro.

La formula è:

n! / k(1)! k(2)! ... k(p)!

ove k(1), k(2), k(p) rappresentano la consistenza numerica dei gruppi di numeri uguali fra loro.

Nel nostro caso quindi:  9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 /  2

ovvero: 181.440

Rammentando che tutto quanto esposto può applicarsi indifferentemente ad uno qualunque dei nostri 9 numeri, possiamo finalmente calcolare il numero delle probabilità di uscita di una coppia di numeri uguali in 9 colpi di una ipotetica roulette con soli 9 numeri.

In base a tutto quanto esposto, tale probabilità è data da:

• 8 il numero delle combinazioni di 8 numeri su sette posizioni, moltiplicato per:
• 181.440 il numero delle permutazioni nei nove numeri, moltiplicato per:
• 9 il totale dei numeri considerati,
• ovvero: 13.063.680

Rifacendoci al totale dei casi possibili, che di 387.420.489 possiamo quindi affermare che nel 3,372% dei casi, il risultato di nove colpi sarà di una sola coppia.

ovvero: 13.063.680 / 387.420.489 x 100 = 3,372%

Avendo dimostrato almeno in parte il procedimento possiamo ora elencare per ciascuno dei nostri 30 esempi il numero di casi possibili o probabilità.

Ebbene, esaminiamo le caratteristiche dei nostri esempi.

• Quali sono quelli che presentavano un solo numero uscito e quante le relative probabilità?

L'esempio numero 1 con probabilità 9

• Quali quelli con soli due numeri usciti (il resto sono ripetizioni) e quante le relative probabilità?

Gli esempi 24,27,29 e 30 e le realtive probabilità sono 18.360 (9.072 + 6.048 + 2.592 + 648)

Proseguendo nell'esame sommando i dati relativi, siamo quindi in grado di determinare le probabilità che in nove colpi escano 1,2, 3,...9 numeri diversi tra loro (i restanti numeri saranno quindi ripetizioni):

Rammentando che tale probabilità si riferiscono a quelle totali di 387.420.489 , possiamo ora percentualizzare tali dati.
Possiamo, per primi in base alla documentazione in nostro possesso, pubblicare nel senso proprio della parola le percentuali calcolate matematicamente e non su base empirica della cosiddetta legge del terzo applicata a nove numeri.

Con base 100, tali percentuali sono le seguenti

Quale utile raffronto abbiamo effettuato esperimenti con il calcolatore.
Allo scopo di neglio valutare i dati ed inziare uno studio sullo scarto abbiamo separato i risultati ottenuti dopo 900, 9.000, 90.000 e 900.000 colpi (100, 1.000, 10.000, 100.000 serie di 9) raffrontando i risultati con la media teorica

Nel constatare l'assoluta corrispondenza dei dati ottenuti con quelli teorici calcolati, non possiamo riandare con il pensiero a tutti gli autori, anche grandi, che hanno sin qui "la legge del terzo" come "misteriosa", senza spiegarne le fondamenta.

Nel licenziare alle stampe questo articolo, di cui avvertiamo l'importanza senza saperne valutare l'ampiezza, ci fa piacere sottolineare come, ancora una volta, sia stato un autore italiano a pubblicare qualcosa di veramente originale in materia di ludologia.

Romano Desma

Apparso sui numeri 1 e 2 del 1984 della rivista ludologica Rosso e Nero pubblicata da L'Editoriale Rosso e Nero di Eugenio Scardecchia